Esta teoría nace a finales de los años cincuenta y principio de los sesenta de la mano del físico húngaro E. P. Wigner. Durante este periodo, época de la guerra fría, era importante entender con claridad los procesos de fisión, y esto pasaba por entender bien las resonancias que se observan en la siguiente imagen:

¿Cómo se estudiaron estas resonancias? El estudio analítico es inviable (un núcleo fisionable tiene demasiados cuerpos). Por otro lado, en este rango del espectro (sobre el umbral de energía de ligadura de un nucleón) el modelo de capas no es aplicable. Por todo esto y dado el desconocimiento de los detalles de la fuerzas nucleares, Wigner desarrolló en una teoría estadística (Teoría de Matrices Aleatorias) sobre los niveles de energía. El estudio de un sistema con técnicas estadísticas no conduce a un conocimiento exacto del mismo. Por ejemplo en física estadística no se calcula el estado en el que se encuentra un sistema, sino que se calcula la media sobre todos los estados permitidos en que puede estar dicho sistema. La idea fundamental de la Teoría de Matrices Aleatorias (RMT) es la siguiente: no nos interesan las propiedades de un espectro nuclear (un sólo sistema), si somos capaces de calcular propiedades que caractericen a un conjunto de espectros nucleares (muchos sistemas distintos). Por ello la RMT renuncia al conocimiento del propio sistema, calculando por ejemplo propiedades como la media sobre todos los sistemas permitidos.
Justifiquemos brevemente esta teoría: El estudio de los niveles energéticos a través de una teoría estadística viene motivado por la gran complejidad tanto del núcleo atómico como de la interacción nuclear. Utilizamos matrices ya que estas resonancias representan las energías de los autoestados del hamiltoniano que representa el sistema. Estas matrices son aleatorias, ya que al tratarse de sistemas tan complejos, de alguna manera la forma del hamiltoniano no es importante, ya que desconocemos como interactúan las partículas. Finalmente, y en analogía con la física estadística, representaremos todas las interacciones posibles a través de una colectividad de matrices aleatorias.
No todas las matrices aleatorias son válidas; al representar un hamiltoniano, han de adecuarse a la simetría del sistema, y al suponer aleatoriedad en la interacción (el núcleo atómico se modela como una caja negra en la que los nucleones interaccionan de un modo aleatorio en su interior), exigimos también distribución de máxima incertidumbre a los elementos de matriz. Dadas estas restricciones encontramos distintos tipos de colectividades de matrices aleatorias: Colectividades Gaussianas, Circulares, Ginibre. Las que tienen un significado físico más representativo son las colectividades gaussianas. Esto es debido a la gran cantidad de simetrías que poseen; también son hermíticas, como debe ser todo observable cuántico. También la necesidad de interpretar parte del espectro de la matriz como parte del espectro energético de un sistema físico. Esta última consideración motiva el estudio y análisis de los autovalores de la matriz, y con ello, un análisis del comportamiento de los niveles energéticos de un sistema físico tan complejo como el núcleo. Uno de los estadísticos más utilizados es la distribución de espaciamientos a primeros vecinos o P(s). Con ella, estudiamos las correlaciones a corto alcance entre los autovalores. Wigner calculó esta distribución para las distintas colectividades gaussianas, y obtuvo las siguientes curvas:

Para ver un desarrollo más formal de la teoría de matrices aleatorias, pincha aquí. Como muestra de la potencia que tiene esta teoría, veamos cómo son las distribuciones de espaciamientos a primeros vecinos para la colectividad gaussiana ortogonal y comparémosla con la misma distribución de espaciamientos realizada sobre los niveles de energía de distintos núcleos pesados:

Pese a que el nacimiento fue motivado para explicar las resonancias de alta energía, con el paso de los años se ha ido aplicando a multitud de ramas científicas, llegando a considerarse una disciplina en sí misma. Ejemplos de dichas aplicaciones son por ejemplo la teoría de sólidos desordenados, gravitación cuántica en 2D, lattice QCD, y otras muchas ramas de la física, entre las que destaca el caos cuántico.